集列的上(下)限集的性质及其应用开题报告

1. 研究目的与意义

实变函数论是数学分析中的重要分支，涉及到实数、函数、极限等重要概念。在实变函数论中，集列的上限集和下限集是一个重要的概念，它们是实变函数论的基础，是数学分析中的重要工具。然而，由于集列上、下极限的内涵抽象、形式复杂，符号多变等特点，使得学生学习这一部分知识时往往感到困难，这也是当前实变函数论教学中的一个难点。

因此，本课题旨在深入研究集列上、下极限的性质、计算方法及其应用，通过系统的研究，加深对集列上、下极限概念的理解和掌握，提高实变函数论的教学水平和学生的数学素养，为进一步推进数学分析研究提供理论基础和方法手段。

2. 研究内容和预期目标

本课题主要研究集列的上限集和下限集的性质、计算方法及其应用。具体包括以下几个方面：

（1）集列上、下极限的定义和基础理论； （2）集列上、下极限的性质及其证明； （3）集列上、下极限的计算方法及其应用； （4）集列上、下极限在实变函数及其它数学课程中的应用。

3. 研究的方法与步骤

本课题主要采用文献研究法和实例分析法。具体步骤如下：

（1）搜集相关文献，了解实变函数中关于集列的上、下极限的定义及其相关基础理论； （2）研读分析文献，讨论集列上、下极限的性质及计算方法； （3）通过实例分析探究集列上、下极限的应用，例如在极限计算、数列极限、函数极限等方面的应用； （4）对研究结果进行总结归纳，提出自己的见解和观点。

4. 参考文献

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14. 赵凤梧. 实变函数论. 北京：高等教育出版社, 2004。
15. 罗杰斯阿当. 实变函数与极限. 北京：高等教育出版社，2006。

5. 计划与进度安排

2024年12月16日-2024年2月20日：选题和资料收集阶段。

2024年2月20日-3月3日：提交开题报告和外文翻译材料，指导教师审核。

3月6日-5月29日：撰写论文和周记，并按计划汇报毕业论文进展情况。