非线性薛定谔方程的几种差分格式比较开题报告

1. 本选题研究的目的及意义

非线性薛定谔方程（nonlinearschrödingerequation，nlse）作为一种基本的物理模型，在光纤通信、等离子物理、玻色-爱因斯坦凝聚态等众多科学领域中都有着广泛的应用。

它能够描述许多重要的物理现象，例如光孤子的传播、波的非线性自聚焦等。

由于解析解只存在于少数特殊情况，因此，研究非线性薛定谔方程的数值解法具有重要的理论意义和实际应用价值。

2. 本选题国内外研究状况综述

非线性薛定谔方程的数值求解一直是计算数学和应用数学领域的研究热点，国内外学者对此进行了大量的研究，并取得了丰硕的成果。

1. 国内研究现状

国内学者在非线性薛定谔方程数值解法方面做了很多有意义的工作。

3. 本选题研究的主要内容及写作提纲

本选题将从以下几个方面对非线性薛定谔方程的几种差分格式进行比较研究：
1.理论分析:对比分析不同差分格式的稳定性条件、色散关系、耗散关系等，揭示格式的数值特性。

2.数值实验:设计典型算例，对不同差分格式进行数值模拟，比较它们的数值精度、计算效率和守恒性等方面的性能差异。

3.应用实例:选择实际应用中的非线性薛定谔方程问题，采用不同的差分格式进行数值模拟，验证数值方法的有效性和可靠性。

4. 研究的方法与步骤

本研究将采用理论分析和数值实验相结合的研究方法。

首先，通过查阅相关文献，了解非线性薛定谔方程的物理背景、数学性质以及常用的差分格式。

其次，利用偏微分方程数值解的理论知识，对几种典型的差分格式进行稳定性分析和精度分析，推导格式的稳定性条件和收敛阶。

5. 研究的创新点

本研究的创新点在于：1.系统比较:将系统比较几种常用的非线性薛定谔方程差分格式，并结合理论分析和数值实验，全面评估它们的性能差异。

2.应用实例:将选取实际应用中的非线性薛定谔方程问题，验证数值方法的有效性和可靠性，增强研究的实用价值。

3.展望未来:将在总结现有研究成果的基础上，对非线性薛定谔方程数值解法的未来研究方向进行展望，为该领域的发展提供参考。

6. 计划与进度安排

第一阶段 （2024.12~2024.1）确认选题，了解毕业论文的相关步骤。

第二阶段（2024.1~2024.2）查询阅读相关文献，列出提纲

第三阶段（2024.2~2024.3）查询资料，学习相关论文

7. 参考文献（20个中文5个英文）

1.张鲁明,郭柏灵.非线性薛定谔方程的高阶紧致差分方法[j].计算数学,2019,41(01):1-18.

2.李永海,李润杰,王文栋.一类非线性薛定谔方程的守恒型差分格式[j].山东大学学报(理学版),2022,57(04):104-112.

3.张建,张强,刘丽.高维非线性薛定谔方程的二阶紧致差分格式[j].应用数学和力学,2021,42(09):949-961.