豪斯多夫度量的初步研究开题报告

1. 研究目的与意义

一、研究背景

豪斯多夫度量是以费利克斯豪斯多夫（felix hausdorff，1868-1942）的名字命名的。豪斯多夫度量是指紧致度量空间中两个闭集之间的距离，通俗讲，它是从一个集合中的一个点到另一个集合中最近的点的所有距离中最大的一个。本课题是对豪斯多夫度量进行一个初步的探究，证明若给定的紧致度量空间是完备的，豪斯多夫度量空间也是完备的。类似地，若给定的度量空间是紧致的，那么我们的豪斯多夫度量空间也是紧致的。以及证明若给定的一个度量空间(x,d)为紧致度量空间，则x的闭子集族在豪斯多夫度量dh(a,b)下定义了一个紧拓扑，说明紧度量空间上同胚的不变闭子集构成的集合关于豪斯多夫度量是闭的。

2. 研究内容和预期目标

一、研究内容

本课题研究内容为豪斯多夫度量：证明若给定的一个度量空间(x,d)为紧致度量空间，则x的闭子集族在豪斯多夫度量dh(a,b)下定义了一个紧拓扑，说明紧度量空间上同胚的不变闭子集构成的集合关于豪斯多夫度量是闭的。并给出一些与豪斯多夫度量有关的讨论和例子。

3. 研究的方法与步骤

一、研究方法

文献法，例题分析法，证明法。

4. 参考文献

1.russ gordon.real analysis: a first course. walla walla, washington, 1st edition, 2011.

2.程其襄等, 实变函数与泛函分析[m]. 北京:#12220;等教育出版社, 2010.

3.哈斯尔布拉特.动#12050;系统入门教程及最新发展概述[m].北京:科学出版社,2009.

5. 计划与进度安排

1.2024年2月21日-3月6日：学生完成开题报告，指导老师审核开题报告；

2.2024年3月7日-5月29日： 线上汇报，学生按开题报告撰写论文，学生有任何疑问可向指导老师汇报；

3.2024年4月11日-4月24日：学生汇报课题进展情况，回答教师提问。各系部进行自查，并配合教务处论文中期检查。