随机奇异方程的反源问题开题报告

1. 研究目的与意义

carleman不等式是一种加权的能量估计，由卡莱曼(t.carleman)于1939年提出。carleman估计是一种由局部决定整体的估计，体现了一种由局部控制整体的思想。carleman估计的应用主要集中于数学物理反问题及可控性理论。近年来，学者对确定性方程的carleman估计及其应用的研究有了十分丰富的结果。

由于实际问题有许多不确定性因素，随机的干扰往往不可避免，当随机的因素不能被忽略时，随机过程自然地代替了确定性过程，随机微分方程的数学研究收到了学者的广泛关注。相比于确定性方程的carleman估计及其应用的研究成果，随机方程的carleman估计及其应用还处于相对初步的阶段。目前，学者只研究了随机热传导方程、随机波方程、随机kuramoto –sivashinsky 方程等简单方程的carleman估计。本文研究一类随机奇异抛物方程的carleman估计及其反源问题。

2. 研究内容和预期目标

一、本课题的主要研究内容：

本论文考虑一类描述热波在非均匀介质中传播的ockendon模型的奇异方程的反源问题。由于方程带有奇性，首先将方程近似化。借助随机退化抛物方程的carleman估计证明的方法，构造合适的正常势函数，建立正向随机奇异方程的carleman估计。基于此carleman估计，得到源项反演问题的唯一性。

二、预期的目标：

3. 研究的方法与步骤

一、研究方法

文献资料法、证明法

二、实施步骤

4. 参考文献

[1] r. du, j. eichhorn, q. liu, c. wang, carleman estimates and null controllability of a class of singular parabolic equations, adv. nonlinear anal. 8 (2019) 1057-1082.

[2] p. martinez and j. vancostenoble, carleman estimates for one-dimensional degenerate heat equations, j. evol. equ., 6 (2006), 325–362.

[3] s. tang, x. zhang, null controllability for forward and backward stochastic parabolic equations, siam j. control optim. 48 (2009) 2191-2216.

5. 计划与进度安排

[1] 2024年2月20日-3月3日(1-2周)，根据毕业任务书，提交开题报告等材料（开题报告、外文翻译等）

[2] 2024年3月6日-5月26日(3-14周)，按开题报告撰写论文

[3] 2024年4月10日-4月21日(8-9周) 中期检查。汇报课题进展情况，讨论课题进展中遇到的难点。