基于有限元方法的泊松方程求解并行加速的实现开题报告

1. 本选题研究的目的及意义

泊松方程作为偏微分方程中的一种典型代表，在流体力学、电磁学、热力学等众多科学和工程领域中都有着广泛的应用，例如描述静电场中的电势分布、不可压缩流体的流函数等。

对其高效求解一直是计算数学和科学计算领域的研究热点。

有限元方法作为一种常用的数值计算方法，在求解偏微分方程方面展现出良好的适应性和精度。

2. 本选题国内外研究状况综述

泊松方程的求解方法研究历史悠久，从早期的解析解法到近代的数值解法，各种方法层出不穷。

有限元方法作为一种重要的数值解法，自20世纪50年代以来得到了广泛应用和发展，并形成了较为完善的理论体系。

1. 国内研究现状

3. 本选题研究的主要内容及写作提纲

1. 主要内容

本研究将围绕基于有限元方法的泊松方程求解并行加速展开，主要研究内容包括：
1.泊松方程与有限元方法:对泊松方程的基本理论进行阐述，包括其数学形式、物理意义以及应用领域等。

同时，介绍有限元方法的基本原理，包括变分形式、单元剖分、插值函数等，为后续并行加速实现奠定基础。

4. 研究的方法与步骤

本研究将采用理论分析、算法设计、数值实验和结果分析相结合的研究方法。

首先，通过查阅相关文献，深入理解泊松方程的基本理论、有限元方法的基本原理以及并行计算加速技术，为后续研究奠定理论基础。

其次，基于mpi和openmp并行编程模型，设计并实现泊松方程求解的并行算法。

5. 研究的创新点

本研究的创新点在于：
1.针对泊松方程的有限元求解，提出一种高效的并行加速方法，结合区域分解、数据划分和通信优化等技术，提高算法在高性能计算平台上的求解效率。

2.通过设计合理的数值实验，验证所提出算法的有效性和加速性能，并分析影响算法性能的关键因素，为算法优化提供指导。

6. 计划与进度安排

第一阶段 （2024.12~2024.1）确认选题，了解毕业论文的相关步骤。

第二阶段（2024.1~2024.2）查询阅读相关文献，列出提纲

第三阶段（2024.2~2024.3）查询资料，学习相关论文

7. 参考文献（20个中文5个英文）

1.张文生,陈景华,周洲,等.泊松方程并行求解的自适应区域分解法[j].计算机工程与科学,2018,40(01):124-130.

2.李开泰.有限元方法及其应用[m].西安:西安交通大学出版社,2019.

3.黄云清.有限元方法[m].北京:科学出版社,2018.